طريقة الحساب
الانحراف المعياري هو مقياس لمدى تشتت القيم حول متوسطها: كلما صغر كانت القيم متقاربة، وكلما كبر كانت متباعدة. وهو من أكثر مقاييس الإحصاء استخدامًا في الأبحاث الجامعية ورسائل الماجستير وتحليل نتائج الاختبارات وضبط الجودة. تعرض هذه الحاسبة الناتج مع جدول يبيّن انحراف كل قيمة عن المتوسط ومربعه، لتفهم الحل خطوة بخطوة لا أن تنقل الرقم فقط.
المتوسط x̄ = مجموع القيم ÷ عددها (n) التباين للعينة s² = Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) · التباين للمجتمع σ² = Σ(x − μ)² ÷ n الانحراف المعياري = الجذر التربيعي للتباينمثال محلول. القيم: 2، 4، 4، 4، 5، 5، 7، 9. مجموعها 40 وعددها 8، إذن المتوسط = 5. مربعات الانحرافات: 9، 1، 1، 1، 0، 0، 4، 16، ومجموعها 32. إذا كانت البيانات تمثل المجتمع كله: التباين = 32 ÷ 8 = 4، والانحراف المعياري = 2. وإذا كانت عينة: التباين = 32 ÷ 7 = 4.5714، والانحراف المعياري = 2.1381، والخطأ المعياري للمتوسط = 2.1381 ÷ √8 = 0.7559، ومعامل الاختلاف = 42.76%.
خطوات حساب الانحراف المعياري يدويًا
- اجمع القيم واقسم على عددها لتحصل على المتوسط الحسابي.
- اطرح المتوسط من كل قيمة لتحصل على الانحراف (بعضه سالب وبعضه موجب، ومجموعه دائمًا صفر).
- ربّع كل انحراف حتى تختفي الإشارات السالبة.
- اجمع المربعات، ثم اقسم على n − 1 للعينة أو على n للمجتمع، فيكون الناتج هو التباين.
- خذ الجذر التربيعي للتباين، فيكون الناتج هو الانحراف المعياري بنفس وحدة البيانات الأصلية.
متى أختار العينة ومتى أختار المجتمع؟
اختر المجتمع إذا كانت الأرقام تشمل كل أفراد المجموعة التي تدرسها، مثل درجات جميع طلاب فصل واحد إذا كان الفصل هو كل ما يهمك. واختر العينة إذا كانت الأرقام جزءًا مأخوذًا من مجموعة أكبر وتريد تعميم النتيجة عليها، وهي الحالة الغالبة في الاستبيانات والأبحاث. القسمة على n − 1 (تصحيح بيسل) تعوّض أن العينة تميل إلى إظهار تشتت أقل من الحقيقي، ولهذا يكون انحراف العينة أكبر قليلًا دائمًا. وفي برنامج Excel تقابل الدالةُ STDEV.S العينةَ، والدالةُ STDEV.P المجتمعَ.
كيف أفسّر الانحراف المعياري؟
- قاعدة 68–95–99.7: إذا كانت البيانات قريبة من التوزيع الطبيعي، فإن نحو 68% من القيم تقع داخل انحراف معياري واحد من المتوسط، و95% داخل انحرافين، و99.7% داخل ثلاثة.
- معامل الاختلاف (الانحراف ÷ المتوسط × 100) يقارن التشتت بين مجموعات مختلفة الوحدات أو المستوى؛ فانحراف 5 درجات حول متوسط 90 أقل تشتتًا من انحراف 5 حول متوسط 40.
- الخطأ المعياري يقيس دقة المتوسط نفسه لا تشتت القيم، ويصغر كلما زاد حجم العينة.
مثال من درجات الطلاب
درجات 5 طلاب: 85، 90، 78، 92، 88. المتوسط 86.6، ومجموع مربعات الانحرافات 119.2، والتباين للعينة 29.8، والانحراف المعياري 5.46 درجة. أي أن معظم الدرجات تقع تقريبًا بين 81 و92. ويستخدم هذا النوع من الحساب في تحليل نتائج اختبارات القدرات والتحصيلي ومقارنة أداء الفصول.
تحتاج المتوسط والوسيط والمنوال معًا؟ استخدم حاسبة المتوسط الحسابي. ولحساب معدل بأوزان مختلفة جرّب حاسبة النسبة الموزونة، ولتحويل درجتك إلى نسبة مئوية افتح حاسبة النسبة المئوية للدرجات.